【數學與生活】

日本數學教育議會創立者遠山啟

理念實踐之作

跨越學科邊界

突破文理之限

以平衡視角探尋人類質樸的智慧

通俗講解還原數學純粹容顏

生活故事詮釋小學到大學數學原理與精髓

人性思維消解“應試數學”帶來的數學恐懼感

《數學與生活（修訂版）》以生動有趣的文字，系統地介紹了從數的產生到微分方程的全部數學知識，包括初等數學和高等數學兩方面內容之精華。 這些知識是人們今後從事各種活動所必須的。 書中為廣大讀者著想，避開了專用術語，力求結合日常邏輯來介紹數學。 讀來引人入勝，枯燥之感。 從中不但可得益於數學，而且還可學到不少物理、化學、天文、地理等方面的知識。

第1章數的幼年期1

1.1從未開化到文明1

1.2數的黎明2

1.3一一對應4

1.4分割而不變5

1.5數的語言6

1.6數詞的發展7

1.7手指計數器10

1.8金字塔11

1.9二十進制14

1.10十二進制16

1.11六十進制17

1.12定位與0的祖先17

第2章離散量和連續量19

2.1多少個和多少19

2.2用組織量測20

2.3連續量的表示方法22

2.4分數的意義25

2.5折疊和擴展27

2.6分數的比較29

2.7分數的加法和減法30

2.8乘法的擴大解釋32

2.9乘减少，除增大34

2.10小數的意義37

2.11分數和小數38

2.12循環小數和分數41

2.13非循環小數43

2.14加减和乘除44

2.15數學和現實世界47

第3章數的反義詞49

3.1正和負49

3.2新數的名稱50

3.3負的符號52

3.4正和負的加法53

3.5減法運算54

3.6司湯達的疑問55

3.7乘法運算規則56

3.8與實際的聯系58

3.9有理數的域60

3.10代數和61

第4章代數——靈活的算數63

4.1代名詞的算術63

4.2代數的文法·交換律65

4.3結合律66

4.4分配律68

4.5方程70

4.6代數的語源73

4.7龜鶴算73

4.8一次方程75

4.9聯立方程78

4.10矩陣和向量80

4.11矩陣的計算84

4.12聯立方程和矩陣88

4.13奇妙的代數89

第5章圖形的科學94

5.1兩部長期暢銷書94

5.2分析的方法95

5.3分析和綜合96

5.4連接98

5.5全等三角形100

5.6公理101

5.7泰勒斯定理103

5.8驢橋定理105

5.9條件和結論107

5.10對稱性109

5.11定理的聯系112

5.12三邊全等定理114

5.13捉老鼠的邏輯——反證法116

5.14脊背重合117

5.15垂直於平面的直線119

5.16平行線120

5.17三角形的內角123

5.18驢都知道124

5.19驢解决不了的問題127

5.20倒推法129

5.21與三點等距離的點130

第6章圓的世界133

6.1直線和圓的世界133

6.2神的難題136

6.3圓的四邊形化138

6.4圓周角不變定理140

6.5面積144

6.6畢達哥拉斯定理148

6.7長度計算法151

6.8從觸覺到視覺153

6.9相似和比例156

6.10相似的條件158

6.11五角星162

6.12五角星的秘密164

6.13有理數普遍存在166

6.14無理數普遍存在168

6.15實數169

第7章複數——最後的樂章171

7.1二次方程171

7.2二次方程的解法173

7.3先天不足的數175

7.4複數177

7.5加法和減法179

7.6乘法和除法181

7.7正多邊形185

7.8正五邊形188

7.9高斯的發觀190

7.10三次方程191

7.11卡爾達諾公式193

7.12數的進化197

7.13四則逆運算198

7.14代數學的基本定理200

第8章數的魔術與科學202

8.1萬物都是數202

8.2數的魔術204

8.3恒等式205

8.4恒等式的計算法210

8.5求約數的方法211

8.6公倍數與公約數214

8.7素數217

8.8分解219

8.9費馬定理221

8.10循環小數222

第9章變化的語言——函數224

9.1變與不變224

9.2變數和函數226

9.3正比例229

9.4鸚鵡的計算方法230

9.5變化的形式231

9.6各種類型的函數232

9.7圖表234

9.8函數的圖表235

9.9解析幾何學239

9.10直線240

9.11相交和結合242

9.12貝祖定理244

9.13圓錐曲線246

9.14二次曲線248

第10章無窮的算術——極限251

10.1運動和無窮251

10.2無窮級數253

10.3無窮悖論255

10.4沒有答案的加法257

10.5一種空想的遊戲259

10.6柯西的收斂條件263

10.7收斂和加減乘除266

10.8規則的數列269

10.9帕斯卡三角形271

10.10數學歸納法273

10.11高斯分佈276

10.12階差277

第11章伸縮與旋轉281

11.1老鼠算281

11.2 2倍的故事283

11.3數砂子284

11.4負的指數285

11.5分數的指數286

11.6指數函數288

11.7對數290

11.8連續的複利法292

11.9旋轉294

11.10正弦曲線和余弦曲線297

11.11極座標299

11.12正弦定理和余弦定理300

11.13海倫公式302

11.14永遠曲線304

11.15歐拉公式306

11.16加法定理308

第12章分析的方法——微分310

12.1望遠鏡和顯微鏡310

12.2思考的顯微鏡311

12.3微分314

12.4流量和流率316

12.5指數函數的微分317

12.6函數的函數322

12.7反函數323

12.8函數的函數的微分325

12.9內插法329

12.10泰勒級數333

12.11 **大**小335

12.12 **小原理339

第13章綜合的方法——積分342

13.1分析與綜合342

13.2德謨克裡特方法344

13.3球的表面積·阿基米德方法346

13.4雙曲線所圍成的面積348

13.5定積分351

13.6卡瓦列裡原理354

13.7基本定理357

13.8不定積分361

13.9積分變換364

13.10酒桶的體積364

13.11科學和藝術367

13.12各種各樣的地圖367

13.13擺線圍成的面積371

13.14曲線的長度372

第14章微觀世界——微分方程375

14.1逐步解决法375

14.2方向場377

14.3折線法379

14.4落體法則381

14.5線性微分方程383

14.6振動386

14.7衰减振動388

14.8從開普勒到牛頓389

14.9積分定律和微分定律393

14.10拉普拉斯的魔法394

14.11鎖鏈的曲線395

附錄399

參考文獻401

後記402

【數學與生活2要領與方法】

數學教育，是知識上的機械式灌輸，還是思維上的發展性引導？

日本數學教育議會創立者，《數學與生活》作者遠山啟

數學教育改革反思之作

點燃求知之心，讓數學教育回歸本質

透徹講解數學體系要點

傳授人性化教學、學習方法

數學其實是一門很單純的學問，只要能扎實掌握重點，那麼所有人都能把它學明白。 教師只要花時間將這些重點講透徹，無須將所有的知識細節逐一灌輸給學生了。 本書的目的，要將數學這門學科中為數不多的重點說透徹、講明白。—— 遠山啟

本書為日本數學教育議會創立者遠山啟的數學教育科普作品。 書中通俗解讀了數學教育中的重點、難點知識，用直觀的管道梳理了“量與數”“集合與邏輯”“空間與圖形”“變數與函數”的知識體系，並結合作者多年的教學與研究經驗，向讀者傳授教學方法與學習技巧，引導學習者掌握具有發展性的思考方法，真正從原理上理解數學知識。

本書適合數學愛好者閱讀學習，也適合作為教師教學、家長輔導的參攷指南。

序章

0.1答案相同也“不同”2

0.2教學方法的保守性3

0.3教科書與教學制度的歷史4

0.4黑封面教科書5

0.5綠封面教科書7

0.6藍封面教科書8

0.7生活單元學習法8

0.8如今的制度9

第1章量

1.1廣義的量12

1.2生物與環境13

1.3量是資訊14

1.4教學中量的缺失15

1.5量的系統性教學18

1.6離散量和連續量18

1.7集合的個數20

1.8算盤和計算尺21

1.9量詞和組織22

1.10外延量和內涵量24

1.11相加性25

1.12重量26

1.13組織的導入27

1.14直接比較28

1.15間接比較28

1.16個別組織29

1.17統一組織30

1.18時間32

1.19內涵量33

1.20密度的三種用法35

1.21從量到數37

1.22乘法的意義38

1.23分數的乘法40

1.24語言差异40

1.25度和率42

1.26高級的量43

1.27多元量44

1.28向量和矩陣45

第2章數

2.1一一對應48

2.2康托爾的集合論49

2.3序數52

2.4求剩和求差53

2.5數詞與數位56

2.6原始社會的數詞57

2.7歐洲的數詞58

2.8心算和筆算61

2.9漢字數位和算術數位62

2.10數位和0 63

2.11數數主義65

2.12向心算傾斜67

2.13數學應以筆算為中心68

2.14心算和數學69

2.15 0的含義70

2.16 0的歷史72

2.17數位的原理73

2.18方便合併的方塊74

2.19三者關係77

2.20加法78

2.21五·二進位79

2.22題目的數量82

2.23題目的分類和排序83

2.24減法87

2.25减減法和减加法89

2.26兩步退位90

2.27乘法91

2.28日本的九九乘法表93

2.29除法94

2.30求商98

2.31分數·小數101

2.32比例分數102

2.33量和分數103

2.34分數運算105

2.35分數的乘法109

2.36分數的除法111

第3章集合與邏輯

3.1集合是什麼116

3.2無窮集合118

3.3集合的定義119

3.4要素121

3.6補集124

3.7交集125

3.8並集127

3.9德·摩根定理128

3.10空集130

3.11邏輯132

3.12命題133

3.13真和假133

3.14否定135

3.15聯言135

3.16真值表137

3.17 0和1的計算139

3.18公路網140

3.19 all和some 144

3.20否定的模糊性146

3.21謂語和集合148

3.22直積149

3.23概率150

第4章空間與圖形

4.1古典幾何學154

4.2方格幾何156

3.5部分和整體122

4.3幾何學與邏輯158

4.4公理的複雜性160

4.5不完全證明160

4.6一般與特殊162

4.7歸納和演繹163

4.8折線幾何165

4.9投影圖168

4.10球面幾何學170

4.11球面過剩173

4.12緯度和經度175

4.13初等數論176

4.14算灋180

第5章變數與函數

5.1字母的含義184

5.2字母的變數含義187

5.3應用題188

5.4龜鶴算190

5.5函數的功能197

5.6自由落體定律197

5.7量的因果定律198

5.8符號199

5.9正比200

5.10函數與正比203

5.11映射204

5.12函數和影像207

後記209

【數學與生活3無窮與連續】

日本數學教育議會創立者

遠山啟

現代數學“鑒賞”之作

延續《數學與生活》的體系與視野

通俗解讀現代數學體系

展現“無窮與連續”的超越性美景

不用公式來解釋數學，可能要比不用音符來解釋音樂難得多。 不過，不懂音符的人，雖然無法成為作曲家和演奏家，但只要具備感受力也可以成為優秀的音樂鑒賞家。 就像這種情況一樣，我們是否也可以去“鑒賞”沒有公式的數學呢？ 讓這本辯白小書成為“數學盛宴”，這確實是一種奢望，不過這確實也是我內心的夙願。—— 遠山啟

不懂音符、樂理的人也能欣賞音樂，甚至可以成為音樂鑒賞家。

不懂數學公式的人，是否也能理解現代數學的體系與思考方法，領略其中令人驚歎的超越性美景呢？

本書是從“欣賞”的角度通俗解讀現代數學的科普作品。 書中用直觀、生動的例子，梳理了現代數學的發展脈絡，在“直觀”與“抽象”交織的視角下，展示了數學思考中的“自由性”與“邏輯性”。

本書可作為瞭解現代數學的通俗讀本，也適合作為高中生、大學生理解數學的參考資料。

第1章數一數“無窮”1

第2章“事物”與“作用”43

第3章人造空間87

第4章從群出發125

《數學與生活》作者長銷數學名作，重印55次，爲《數學與生活》前置讀本；

體系清晰，講解親切，從“教學”與“學習”兩個角度，對數學中的關鍵概念進行通俗解讀。

本書爲日本數學家遠山啓的函數科普作品，書中以“理解函數”爲線索，以人物對話的形式，從算術開始逐步講解函數的本質概念及其發展，爲讀者完整呈現了函數概念，並引導讀者理解“從靜止走向運動、從離散走向連續、從運算走向關係”的數學思想。

本書可作爲理解函數的科普讀物，也可作爲函數教學的參考資料。

第一章　黑箱理論 1

1.名稱的由來　3

2.機器人與黑箱　9

3.函數　16

4.函數的符號　25

5.函數的實例　29

第二章　各式各樣的函數　39

6.笛卡兒的原則　40

7.從簡單到複雜　57

8.狹義的函數　63

9.多項式函數　69

第三章　複雜的函數　75

10.複雜的黑箱　76

11.函數的合併　83

12.映射與變換　91

13.反函數　95

第四章　二次函數　101

14.平方根　102

15.二次方程　107

16.插值法　113

17.實根與虛根　133

第五章　從更高層次出發　139

18.關係　140

19.微分與積分　156

20.學習指南　170

後記　176

練習題參考答案　177

遠山老師　184

一本書講明現代數學的全部意義。

一部清晰呈現數學發展脈絡與思想的通俗數學史，還原數學變化“容貌”下的本質。

數學爲什麼是現在這個樣子？爲什麼學校只教授近代數學？

計算與思維，哪個更重要？

現代數學的思考方法更接近日常思維嗎？

本書着眼於數學思考方法的發展，將數學劃分爲古代數學、中世紀數學、近代數學、現代數學，以生動的講述方法清晰呈現了數學的發展脈絡，並結合日常經驗講述了諸多數學概念與思想的來源與發展。此外，本書還通俗地講述了現代數學中的重要概念與方法，引導讀者對數學產生更深刻的理解。

第1章 數學的變遷

1.1　古代數學　2

時代的劃分　2

古代數學——古埃及、中國　4

古希臘數學與泰勒斯　6

1.2　中世紀數學　9

畢達哥拉斯　9

古希臘的社會　10

歐幾里得的《幾何原本》　12

阿基米德與阿拉伯文化　13

1.3　近代數學　16

笛卡兒與《談談方法》　16

座標與分析·　綜合　18

變化與運動　20

從天動說到地動說　21

伽利略與地動說　22

微分與積分　24

牛頓與萊布尼茨之爭　26

微積與積分的力量　27

開普勒三定律　29

微分、積分與牛頓力學　31

牛頓力學與相對論　34

函數是什麼　36

黑箱　40

因果的法則　45

統計法則的背景　47

統計的方法　49

1.4　現代數學　52

現代數學的特征　52

幾何學成爲數學發展的分界線　53

未定義概念　55

集合是什麼　58

包含與被包含　61

集合與形式邏輯　63

合成與分解　65

對應與映射　66

數學原子論　68

空間性　68

一一對應　70

無窮集合　71

集合與結構　73

結構是什麼——同構　75

結構的科學　81

拓撲結構　84

代數結構　87

序結構　93

構成的方法　95

現代數學、藝術與科學　97

動態體系　98

群　100

解剖法與問診法　102

數學學習法　105

第2章 現代數學的邀請

2.1　邀請之一　110

構想力的解放　112

結構　114

集合論　117

2.2　邀請之二　120

集合論的創始者　120

基數　123

可數無窮　126

2.3　邀請之三　131

康托爾的目標　131

集合論的性格　134

集合的乘方　135

子集的集合　139

2.4　邀請之四　142

集合　142

公理　143

同構性　147

結構　149

2.5　邀請之五　152

群　152

置換群　157

子群　163

2.6　邀請之六　165

子群的位數　165

同構　167

自同構的群　173

2.7　邀請之七　176

同態　176

剩餘群　181

子群的交集與並集　186

2.8　邀請之八　188

同構定理　188

域　191

有限域　196

2.9　邀請之九　203

域的特征　203

最小的域　207

特徵爲p　的域　214

2.10　邀請之十　217

環　217

環的實例　218

有限環　221

同態環　224

2.11　邀請之十一　230

多元環　230

四元數　237

2.12　邀請之十二　241

分析與綜合　241

同構與同態　243

直和與直積　248

冪零與冪等　249

2.13　邀請之十三　254

各種各樣的距離　254

無窮維的距離空間　261

函數空間　263

2.14　邀請之十四　267

鄰域　267

閉包點與閉包　270

閉集與開集　273

2.15　邀請之十五　278

拓撲空間與分離公理　278

T0-　空間　280

T1-　空間　283

T2-　空間　284

T3-　空間　285

連續映射　286

拓撲的強弱　288